题目

在 中，内角 的对边分别为 ． （1） 求角B的大小； （2） 设点D是 的中点，若 ，求 的取值范围． 答案： 解：在 △ABC 中，由正弦定理 asinA=bsinB ，可得 bsinA=asinB ， 又由 bsinA=acos(B−π6) ，可得 asinB=acos(B−π6) ， 即 sinB=cos(B−π6) ，即 sinB=32cosB+12sinB ，可得 tanB=3 ， 又因为 B∈(0,π) ，所以 B=π3 解：如图，延长 BD 到E，满足 DE=BD ，连接 AE、CE ， 则 ABCE 为平行四边形，且 BE=23,∠BAE=2π3,AB=c,AE=BC=a ， 在 △BAE 中，由余弦定理得 (23)2=a2+c2−2accos2π3 ， 即 a2+c2+ac=12 ，可得 (a+c)2−ac=12 ，即 ac=(a+c)2−12 ， 由基本不等式得： ac=(a+c)2−12≤(a+c2)2 ，即 34(a+c)2≤12 ， 即 (a+c)2≤16 ，可得 a+c≤4 ，（当且仅当 a=c=2 取等号号） 又由 AE+AB>BE ，即 a+c>23 ， 故 a+c 的取值范围是 (23,4] .

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