题目

已知函数 . （1） 若 ，求函数 的零点； （2） 若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：方法1：因为 f(0)=f(4) ， 所以 19−4b=3 . 所以 b=4 . 所以 f(x)=x2−4x+3 . 由 x2−4x+3=0 得 x=1 或 x=3 ， 所以函数 y=f(x) 的零点为1，3. 方法2：因为 f(0)=f(4) ， 所以函数 f(x)=x2−bx+3 的图像的对称轴为 b2=2 . 所以 b=4 . 所以 f(x)=x2−4x+3 . 由 x2−4x+3=0 得 x=1 或 x=3 ， 所以函数 y=f(x) 的零点为1，3. 解：方法1：因为 f(x)>0 对一切实数 x 恒成立， 所以函数 y=f(x) 的图象在 x 轴的上方. 所以 b2−12<0 . 所以 −23<b<23 . 方法2：因为 f(x)=x2−bx+3 是二次函数， 所以其图像的对称轴为 x=b2 因为 f(x)>0 对一切实数 x 恒成立， 所以函数 y=f(x) 的图象在 x 轴的上方. 所以 f(b2)>0 ，即 b24−b22+3>0 . 所以 b2<12 . 所以 −23<b<23 .

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