题目

已知，点在直线，之间，连接，，如图1，易得 . （1）若，请在如图1中画出的角平分线，的角平分线，，两线交于点，利用上述结论，求的度数；（2）若平分，将线段沿平移至 . ①如图2，若，平分，求的度数； ②如图3，若平分，请写出与的数量关系，并说明理由. 答案：解：如图所示，过点M作MN∥AB， ∵AB//CD， ∴MN∥AB//CD， ∴∠BAM=∠AMN，∠DCM=∠CMN， ∵AP是∠BAE的角平分线，CQ是∠DCE的角平分线， ∴∠BAM= 12 ∠BAE，∠DCM= 12 ∠DCE，即∠AMN= 12 ∠BAE，∠CMN= 12 ∠DCE， ∵AE⊥CE， ∴∠AEC=90°， ∵∠BAE+∠DCE=∠AEC=90°， ∴∠AMC=∠AMN+∠CMN= 12 ∠BAE+ 12 ∠DCE= 12 （BAE+∠DCE）= 45°；解：∵AH平分∠BAE， ∴∠BAH=∠EAH， ①∵FH平分∠DFG， ∴设∠GFH=∠DFH=x，又∵CE∥FG， ∴∠ECD=∠GFD=2x，又∠AEC=∠BAE+∠DCE=80°， ∴∠BAH=∠EAH=40°-x，如图，过点H作HI∥AB， ∴∠AHF=∠BAH+∠DFH =40°-x+x=40°； ②∠AHF=90°+ 12 ∠AEC，理由如下：设∠GFD=2m，∠BAH=∠EAH=n， ∵FH平分∠CFG， ∴∠GFH=∠CFH= 12(180°−∠GFD) = 90°-m，由（1）知∠AEC=∠BAE+∠DCE=2n+2m，即m+n= 12 ∠AEC，如图，过点H作HJ∥AB， ∴∠AHF-∠AHJ +∠CFH=∠AHF-n +∠CFH= 180°，即∠AHF-n +90°-m= 180°， ∴∠AHF=90°+（m+n）， ∴∠AHF=90°+ 12 ∠AEC.

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