题目

已知椭圆   的左焦点 左顶点 .（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）已知 ， 是椭圆上的两点， 是椭圆上位于直线 两侧的动点.若 ，试问直线 的斜率是否为定值？请说明理由. 答案：解：（Ⅰ）由题意可得， a=4 ， c=2 由 a2=b2+c2 ，得 b2=42−22=12所以椭圆 C 的方程为 x216+y212=1 .（Ⅱ）当 ∠APQ=∠BPQ 时， AP ， BP 的斜率之和为 O ，设直线 PA 的斜率为 k ，则直线 PB 的斜率为 −k ，设 A(x1，y1) B(x2，y2) ， PA 的方程为 y−3=k(x−2) .联立 {y−3=k(x−2)x216+y212=1 消 y 得(3+4k2)x2+8(3k−k2)x+4(4k2+9−12k)−48=0 .所以 2+x1=8k(2k−3)3+4k2同理 2+x2=8k(2k+3)3+4k2所以 x1+x2=16k2−123+4k2 ， x1−x2=−48k3+4k2 .所以 kAB=y2−y1x2−x1=k(x1+x2)−4kx1−x2=12 .所以 AB 的斜率为定值 12

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