题目

已知指数函数 的图象经过点 ， 在区间 上的最小值是 . （1） 求函数 的解析式； （2） 若 时，求函数 的最小值 的表达式； （3） 是否存在 、 同时满足以下条件：① ；②当 的定义域为 时，值域为 ；若存在，求出 、 的值；若不存在，说明理由. 答案： 解：设 f(x)=cx （ c>0 且 c≠1 ）， 因为指数函数 f(x) 的图象经过点 (−1,3) ， ∴f(−1)=c−1=3 ，即 c=13 ， 因此， f(x)=(13)x ； 解：令 t=f(x)=(13)x ， ∵x∈[−1,1] ， ∴t∈[13,3] ， 所以，设 k(t)=t2−2at+3 ，对称轴为 t=a . ∵a≥3 ，可知 k(t) 在 [13,3] 上单调递减， 当 t=3 时， k(t) 取最小值，即 g(x) 取最小值 h(a)=k(3)=12−6a ； 解：由（2）知 m>n>3 时， h(a)=12−6a 在 [n,m] 上单调递减， 若此时 h(a) 的值域为 [n2,m2] ，则 {12−6n=m212−6m=n2 ， 即 6(m−n)=(m−n)(m+n) ， ∵m≠n ，则 m−n≠0 ， ∴m+n=6 ， 又 m>n>3 ，则 m+n>6 ，故不存在满足条件的 m 、 n 的值.

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