题目

如图，一条笔直的公路l经过树湘纪念馆A和何宝珍故里B两个红色文化景区，我县准备进一步开发月岩景区C，经测量景区C位于A的北偏东60°方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝20km， （1） 求何宝珍故里B与月岩景区C的距离； （2） 为了方便游客到月岩景区C游玩，景区管委会准备由景区C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长.（结果保留根号） 答案： 解：根据题意得：∠CAB＝30°，∠ABC＝120°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴∠CAB＝∠ACB， ∴BC＝AB＝20km. 答：何宝珍故里B到月岩景区C的距离为20km； 解：过点C作CD⊥l，垂足为D，则CD的长是这条最短公路的长. ∵CD⊥l， ∴∠CDB＝90°， ∵∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB＝180°﹣60°﹣90°＝30°， 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BCD＝30°，BC＝20km， ∴ BD=12BC=10 km CD=BC2−BD2=103 km， 答：这条最短公路的长为 103 km.

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