题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A ． （1） 求抛物线的表达式及点A的坐标； （2） 点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA ， 交线段OA的延长线于点Q ， 如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB； （3） 若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长． 答案： 解：将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝ 13 x2+mx+n， 得 {1=12+6m+n,0=253+5m+n, 解得，m＝﹣ 83 ，n＝5， 则抛物线的解析式为：y＝ 13 x2﹣ 83 x+5，点A坐标为（0，5） 解：∵AC＝ 52+52=52 ，BC＝ (6−5)2+12=2 ，AB＝ (5−1)2+62=213 ， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°， 当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y 轴于点Q， ∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°， ∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°， ∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB， 又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB 解：做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线， 由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1）， 将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5， ∴k＝﹣ 32 ，∴yAB'＝﹣ 32 x+5， 联立 {y=32x+5,y=13x2−83x+5 解得，x1＝ 72 ，x2＝0（舍去）， 则F'（ 72 ，﹣ 14 ）， 将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n， 得， {6k+b=1,4k+b=−1, 解得， {k=1,b=−5. ∴yBB'＝x﹣5， 由题意知，kFF'＝KBB'，∴设yFF'＝x+b， 将点F'（ 72 ，﹣ 14 ）代入，得，b＝﹣ 154 ， ∴yFF'＝x﹣ 154 ， 联立 {y=23x+5,y=x−54 解得， {x=214,y=32. ∴F（ 214 ， 32 ）， 则FF'＝ (214−72)2+(32+14)2 ＝ 724 ．

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