题目

（本题满分12） 已知x=1是函数f(x)=m -3(m+1)+nx+1的一个极值点，其中m，nR，m＜0. （Ⅰ）求m与n的关系表达式；         （Ⅱ）求f(x)的单调区间； （Ⅲ）当x时，函数y=f（x）的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。 答案：解： （I）f′(x)= 3m-6(m+1)x+n      因为x=1是f(x)的一个极值点，所以f′(1)=0,即  3m-6(m+1)+n=0    所以  n=3m+6.                   ………………………………3分 (Ⅱ) 由（I）知， f′(x)= 3m-6(m+1)x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+）]. 当m<0时,有1>1+. 当x变化时，f（x）与f′（x）的变化如下表： x （-∞，1+） 1+ （1+，1） 1 （1，∞） f′(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由表知，当m<0时，f（x）在（-∞，1+）内单调递减，在（1+，1）内单调递增，在（1，∞）内单调递减。                  ………………………………7分 （Ⅲ）解法一 由已知条件，得f′（x）﹥3m，即  m-2(m+1)x+2 > 0.  因为 m < 0,所以 -（m+1）+ < 0,  即 -2（1+）x+ < 0 , x[-1,1]   ① 设g（x）= -2（1+）x+ ，其函数图像的开口向上。由题意①式恒成立， 所以{ { { - 又m < 0,所以 -< 0, 故m的取值范围是 -< 0.               ………………………………12分 解法二  由已知条件，得f′（x）﹥3m，即 3m（x－1）[x-(1+)] > 3m.  因为m< 0,所以（x－1）[x-(1+)]< 1   ② (ⅰ)x=1时，②式化为0 < 1,恒成立，所以m< 0. （ⅱ）x≠1时，因为 x[-1,1]，所以 -2≤x-1＜0. ②式化为   <(x-1)-，    令t=x-1,则t[-2，0〕. 记  g（t）=t-，   则 g（t）在区间[-2，0〕上是单调增函数， 所以  =g（-2）=-2-=-. 由②式恒成立，必有   < -  -< m. 又m < 0,综合（ⅰ），（ⅱ）知 -< 0.     ………………………………12分

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