题目

如图 （1） 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是等腰Rt△ABC内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察，分析，思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连结P′P，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连结P′P，求出∠APB的度数。请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程。 （2） 【类比探究】如图，若点M是等腰Rt△ABC外一点，MA=3，MB=1，MC= ，请直接写出∠AMB的度数。 答案： 解：思路一： 显然△BP′A≌△BPC， ∴PB=PB=2，P′A=PC=3， ∴△BP′P是等腰直角三角形 ∴PP′=2 2 又∵P′A=3，PA=1， ∠APP′=90°， ∴∠APB=135° 思路二 显然△BPA≌△BP′C， ∴PB=P′B=2，PA=P′C=1， △BP′P是等腰直角三角形 ∴PP′=2 2 又∵PC=3，P′C=1 ∴∠CP′P=90 ∴∠APB=∠CP′B=135° 解：如图，将△MBC绕点B逆时针旋转90°得到△MBA， ∴△MBC≌△M′BA， ∴BM′=BM=1，AM′=CM=√11 △BMM′是等腰直角三角形 ∴MM′= 2 又∵AM=3 ∴∠AMM′=90° ∴∠AMB=45°

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