题目

AOCD是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中O是坐标原点，点A，C，D的坐标分别为（0，8），（5，0），（3，8）.若点P在梯形内，且 的面积等于 的面积， 的面积等于 的面积. （I）求点P的坐标； （Ⅱ）试比较∠PAD和∠POC的大小，并说明理由. 答案：解：（I）如图， PE⊥y 轴于点E， ∵A(0,8),C(5,0),D(3,8) ， ∴OA=8,OC=5,AD=3 ， ∴S梯形AOCD=AD+OC2⋅OA=3+52×8=32 ， ∵ S△PAD=S△POC ， ∴ 12AD⋅AE=12OC⋅OE ，即 32AE=52OE ， ∴3(OA−OE)=5OE ，即 3(8−OE)=5OE ， 解得 OE=3 ， ∴ S△PAD=S△POC=12OC⋅OE=12×5×3=152 ， ∴S△PAO=S△PCD=12(S梯形AOCD−S△PAD−S△POC)=172 ， 又 ∵S△PAO=12OA⋅PE=4PE ， ∴4PE=172 ， 解得 PE=178 ， 故点P的坐标是 (178,3) ； （Ⅱ） ∠POC<∠PAD ，理由如下： 如图，在OA上取点 O′(0,6) ，连接 PO′ ， ∴O′E=OO′−OE=6−3=3=OE ， 又 ∵PE⊥y 轴， ∴△POO′ 是等腰三角形， ∴∠POE=∠PO′E ， 由三角形的外角性质得： ∠PO′E>∠PAE ， ∴∠POE>∠PAE ， ∴90°−∠POE<90°−∠PAE ，即 ∠POC<∠PAD .

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