题目

如图甲所示，倾角为θ、间距为l的足够长光滑金属导轨底端与电阻R相连，导轨间存在多个相互间隔的矩形匀强磁场，每个磁场的宽度和相邻两磁场的间距均为d，磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示，其中 时刻，磁感应强度大小为B0 ， 方向垂直于导轨向下。导线框ABCD的质量为m，长度为3d，宽度为l，AB和CD的电阻均为R，0～t0内线框被锁定在图甲位置保持静止，此时AB和CD正好位于磁场的边缘，且开关K处于断开状态， 时刻解除线框锁定，同时闭合开关K。不计AD、BC和导轨的电阻，AD、BC边在向下运动过程中始终与导轨保持良好接触。 （1） 求0～t0内流过线框电流的大小； （2） 求线框速度达到最终稳定速度的 时加速度大小； （3） 若从解除锁定到线框恰好稳定，通过电阻R的电荷量为q，求该过程中电阻R上产生的焦耳热。 答案： 解：由法拉第电磁感应定律 E=ΔΦΔt=ΔB⋅SΔt=2B0⋅St0 S=2dl 解得 E=4B0dlt0 根据欧姆定律 I=E2R=2B0dlRt0 解：金属棒在下滑过程中，AB、CD在磁场中始终只有一边交替在切割磁感线，导线框受到的安培力 F安=IlB0=B02l2vR总 达到稳定速度vm时，由平衡条件 F安m=B02l2vmR总=mgsinθ 当速度 v=13vm 时，由牛顿第二定律 mgsinθ−13F安m=ma 解得 a=23gsinθ 解：设这个过程线框向下下滑的位移为x，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得 E¯=ΔϕΔt I¯=E¯R总 Δϕ=B0⋅xl q=I¯⋅Δt R总=32R 解得 x=3RqB0l 由 F安m=B02l2vmR总=mgsinθ 解得 vm=3mgRsinθ2B02l2 由能量守恒 Q总=mgxsinθ−12mvm2 QR=16Q总 解得 QR=mgRqsinθ2B0l−3m3g2R2sin2θ16B04l4

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