题目

某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为S．比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ0 ， 如题25图所示．设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g． （1） 求空气阻力大小与球速大小的比例系数 ； （2） 求在加速跑阶段球拍倾角 随速度v变化的关系式； （3） 整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0 ， 而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件． 答案： 解：在匀速运动阶段，有mgtanθ0=kv0， 解得：k= mgv0 tanθ0 解：加速阶段，设球拍对球的支持力为N’，有N’sinθ-kv=ma，N’cosθ=mg 联立解得：tanθ= ag + vv0 tanθ0 解：以v0做匀速直线运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有F= mgcosθ0 ． 球拍倾角为θ0+β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a’，有Fsinβ=ma’， 设匀速跑阶段所用时间为t，有：t= sv0 - v02a ， 球不从球拍上掉落的条件为 12 a’t2≤r． 解得sinβ≤ 2rg(sv0−v02a)2 cosθ0

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