题目

如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC= ，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′． （1） 当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长； （2） 若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积； （3） 在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长． 答案： 解：如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，∴∠B′AD=∠EDC′，∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD= 3 ，∴DB′= 3−1 = 2 ，∴△ADB′′∽△DEC，∴ ADDE = DB'EC' ，∴ 31−x = 2x ，∴x= 6 ﹣2．∴CE= 6 ﹣2． 解：如图2中，∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，∴∠B′AF=∠B′FA=45°，∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，∴DF=FG，在Rt△AB′F中，AB′=FB′=1，∴AF= 2 AB′= 2 ，∴DF=DG= 3 ﹣ 2 ，∴S△DFG= 12 （ 3 ﹣ 2 ）2= 52 ﹣ 6 解：如图3中，点C的运动路径的长为 CC'^ 的长，在Rt△ADC中，∵tan∠DAC= CDAD = 33 ，∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，∵∠C′AD=∠DAC=30°，∴∠CAC′=60°，∴ CC'^ 的长= 60⋅π⋅2180 = 23 π．

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