题目

已知关于x的不等式有解. （1） 求实数m的取值范围； （2） 设是m的最大值，若 ， ， ， 且 ， 求证：. 答案： 解：∵|x−1|−|x+2|={3，x≤−2，−2x−1，−2<x<1，−3，x≥1，∴(|x−1|−|x+2|)max=3，∴要使关于x的不等式|x−1|−|x+2|≥|m+2|有解，只需|m+2|≤3，解得−5≤m≤1，∴实数m的范围为[−5，1]； 解：由（1）知，M=1，由a>1，b>1，c>1，且(a−1)(b−1)(c−1)=1，令p=a−1，q=b−1，r=c−1，则p>0，q>0，r>0，且pqr=1，∴abc=(p+1)(q+1)(r+1)=pqr+pq+qr+pr+p+q+r+1，又pq+qr+pr≥3(pqr)23=3当且仅当p=q=r=1时取“=”号；p+q+r≥3pqr3=3，当且仅当p=q=r=1时取“=”号；∴不等式(p+1)(q+1)(r+1)≥8，即abc≥8.

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