题目

已知函数f(x)=x+,函数g(x)=6lnx+m. (1)当x＞1时,求函数f(x)的最小值;(2)设函数h(x)=(1-x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数. 答案：解:(1)方法一:∵x＞1,f(x)==≥0,当且仅当x=4时,取等号,故函数f(x)的最小值为0;方法二:∵x＞1,f(x)=x-1+-6≥2-6=0,当且仅当x-1=,即x=4时,取等号,故函数f(x)的最小值为0.方法三:求导(略). (2)由于h(x)=(1-x)f(x)+16=8x-x2,设F(x)=g(x)-h(x)=6lnx+x2-8x+m(x＞0且x≠1),则F′(x)=+2x-8=. 又F′(x)=0得x=3或x=1(舍),又∵当x→0+时,F(x)→-∞,当x→+∞时,F(x)→+∞,limx→1F(x)=m-7,F(3)=6ln3-15+m,根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如下: 由此可得:当m≤7或m＞15-6ln3时,h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点;当m=15-6ln3时,h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点;当7＜m＜15-6ln3时,h(x)的图象与g(x)的图象恰有3个交点.

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