题目

如图，圆与抛物线相交于点A、B、C、D，且 ． （1） 若抛物线的焦点为 ， 为其准线上一点，是坐标原点， ， 求抛物线的方程； （2） 设与BD相交于点 ， 与组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为 ， 求点的坐标及的最大值． 答案： 解：抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F(0，p2)，设点N(t，−p2)，所以，OF→=(0，p2)，ON→=(t，−p2)，则OF→⋅ON→=−p24=−1，可得p=2，故抛物线的标准方程为x2=4y. 解：根据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形，不妨设|AB|<|CD|，A、D在第一象限，设点A(x1，y1)、D(x2，y2)，则B(−x1，y1)、C(−x2，y2)，y1<y2，联立{x2+(y−3)2=5x2=2py，消去x可得y2+(2p−6)y+4=0，则关于y的二次方程y2+(2p−6)y+4=0有两个不等的正根，所以{Δ=(2p−6)2−16>0y1+y2=6−2p>0y1y2=4p>0，解得0<p<1，依据对称性，点G在y轴上，可设点G(0，m)，由kAG=kAC得y1−mx1=y1−y2x1+x2，所以，y1−m2py1=y1−y22p(y1+y2)=y1−y22p，解得m=y1y2=2，所以，点G(0，2)，S=2(S△ABD−S△ABG)=2[12⋅2x1(y2−y1)−12⋅2x1(2−y1)]=2x1(y2−2)=22py1(y2−2)=22p(y1y22−2y1)=42p(y2−y1)=42p⋅y1+y2−2y1y2=42p⋅(6−2p)−4=8p(1−p)≤4(p+1−p)=4，当且仅当p=12时，等号成立，故当p=12时，S取得最大值4.

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