题目

已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）. （1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上. ①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由； ②若点C关于直线x＝﹣ 的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值. 答案：解：令y＝0， ∴x2+mx﹣2m﹣4＝0， ∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16， ∵m＞0， ∴△＞0， ∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；令y＝0， ∴x2+mx﹣2m﹣4＝0， ∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0， ∴x＝2或x＝﹣（m+2）， ∴A（2，0），B（﹣（m+2），0）， ∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0， ∴y＝﹣2（m+2）， ∴C（0，﹣2（m+2））， ∴OC＝2（m+2）， ①通过定点（0，1）理由：如图， ∵点A，B，C在⊙P上， ∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB＝ OBOC=m+22(m+2)=12 ，在Rt△AOF中，tan∠OAF＝ OFOA=OF2=12 ， ∴OF＝1， ∴点F的坐标为（0，1）； ②如图1，由①知，点F（0，1）， ∵D（0，1）， ∴点D在⊙P上， ∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点， ∴∠DCE＝90°， ∴DE是⊙P的直径， ∴∠DBE＝90°， ∵∠BED＝∠OCB， ∴tan∠BED＝ 12 ，设BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED＝ BDBE=nBE=12 ， ∴BE＝2n，根据勾股定理得，DE＝ BD2+BE2 = 5 n， ∴l＝BD+BE+DE＝（3+ 5 ）n，r＝ 12 DE＝ 52 n， ∴ 1r ＝ (3+5)n52n ＝ 10+655 .

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