题目

如图①，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，BC = 6．点P从点A出发，沿折线AB—BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动．点Q从点C出发，沿CA方向以每秒 个单位长度的速度运动．点P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒． （1） 求线段AQ的长．（用含t的代数式表示）. （2） 当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值. （3） 如图②，过点P作PE⊥AC于点E ， 以PE、QE为邻边作矩形PEQF ， 点D为AC的中点，连结DF ． 直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．    图② 答案： 解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6， ∴AC= AB2−BC2 = 102−62 =8， ∵CQ= 43 t， ∴AQ=8- 43 t（0≤t≤4）． 解：①当PQ ∥ BC时， APAB=AQAC ， ∴ 5t10=8−43t8 ， ∴t= 32 s． ②当PQ∥AB时， CQCA=CPCB ， ∴ 43t8=6−3(t−2)6 ， ∴t=3， 综上所述，t= 32 s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行． 解：①如图1中，a、当0≤t≤ 32 时，重叠部分是四边形PEQF． S=PE•EQ=3t•（8-4t- 43 t）=-16t2+24t． B、如图2中，当 32 <t≤2时，重叠部分是四边形PNQE． S=S四边形PEQF-S△PFN=（16t2-24t）- 12 • 45 （ 163 t-8）• 35 （ 163 t-8）= 68875 t2- 8825 t- 38425 ． C、如图3中，当2<t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ． S=S四边形PBQFS△FNM= 43 t•[6-3（t-2）]- 12 •[ 43 t-4（t-2）]• 34 [ 43 t-4（t-2）]=- 203 t2+30t-24． 综上所述，S= {68875t2−8825t−38424(32≤t≤2)−203t2+30t−24(2<t≤3)  ． ②a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2． 则有（3-3t）：（3- 43 t）=1：2，解得t= 914 s， B、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2． ∴DE：DQ=NE：FQ=1：3， ∴（3t-3）：（3- 43 t）=1：3， 解得t= 3631 s， 综上所述，当t= 914 s或 3631 s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

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