题目

如图，在三棱锥 中， 为正三角形， 为棱 的中点， ， ，平面 平面 ． （1） 求证： 平面 ； （2） 若 是棱 上一点， ，求二面角 的大小． 答案： 证明： ΔPAC 为正三角形， M 为棱 PA 的中点，故 CM⊥PA ∵ 平面 PAB⊥ 平面 PAC ， CM⊥PA ，故 CM⊥ 平面 PAB AB⊆ 平面 PAB ，故 CM⊥AB ， 又 ∵ AB⊥AC ， AC,CM 相交，故 AB⊥ 平面 PAC ； 解：Q是棱AB上一点，设 h 为三棱锥 P−ABC 的高 VQ－BMC=VM−BCQ=13×SΔBCQ×h2 VP－ABC=13×SΔABC×h VQ－BMC＝14VP－ABC ，即 SΔBCQ=12SΔABC ，故 Q 为 AB 中点. 由（1）知： AM⊥MC ， QM⊥MC 故 ∠QMA 即为面角 Q−MC−A 的平面角. 在 RtΔQAM 中， AM=12AC ， AQ=12AB=12AC 故 AM=AQ ΔQAM 为等腰直角三角形， ∠QMA=π4 故二面角 Q−MC−A 为 π4

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