题目

在三棱柱 中， ， ， ， 平面 ， 是 的中点. （1） 求证：平面 平面 ； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：由 B1C⊥ 平面 ABC ， AB⊂ 平面 ABC ，得 AB⊥B1C ， 又 AB⊥AC ， CB1∩AC=C ，故 AB⊥ 平面 AB1C ， AB⊂ 平面 ABB1A1 ，故平面 ABB1A1⊥ 平面 AB1C 解：以 C 为原点， CA 为 x 轴， CB1 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 C(0,0,0) ， A(1,0,0) ， B(1,1,0) 又 BC=2 ， BB1=AA1=3 ， 故 CB1=1 ， B1(0,0,1) ， E(0,0,12) ， CA→=(1,0,0) AA1→=BB1→=(−1,−1,1) ， AE→=(−1,0,12) 设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n→=(x,y,z) ，则 {n⇀⋅CA⇀=0n⇀⋅AA1⇀=0 ，即 {x=0−x−y+z=0 ，令 y=1 ，则 z=1 ， n→=(0,1,1) ， 设直线 AE 与平面 AA1C1C 所成的角为 θ ， 故 sinθ=|n→⋅AE→|n→||AE→||=122×1+14=1010 ， 即直线 AE 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为 1010

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