题目

已知圆 和点 ，动圆 经过点 ，且与圆 内切. （1） 求动圆的圆心 的轨迹 的方程； （2） 设点 关于点 的对称点为 ，直线 与轨迹 交于 、 两点，若 的面积为 ，求 的值. 答案： (x+1)2+y2=16 ，圆心 E(−1,0) ，半径 r=4 ， 因为动圆 M 经过点 F ，且与圆 E 内切，所以 |EM|=4−|MF| ， 即 |ME|+|MF|=4>2 ， M 的轨迹为以 E 点与 F 点为焦点、 4 为长轴长的椭圆， 故圆心 M 的轨迹 C 的方程为 x24+y23=1 . 因为点 P(4,t) 关于点 F 的对称点为 P′ ，所以 P′(−2,−t) ， 因为 t≠0 ，所以点 P′ 不在 x 轴上，直线 P′E 的斜率不为 0 ， 则直线 P′E 的方程为 x=1ty−1 ， 联立 {x=1ty−1x24+y23=1 ，整理得 (4+3t2)y2−6ty−9=0 ， Δ>0 ， 设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，则 y1+y2=6t4t2+3 ， y1y2=−9t24t2+3 ， 因为 F 是 P′P 的中点， A 、 B 、 P′ 三点共线， △ABP 的面积为 352 ， 所以 S△PAB=2S△FAB ， S△FAB=354 ， 由直线 AB 过点 E 易知， S△FAB=|EF|⋅|y1−y2|2 ， 故 |y1−y2|=354 ，即 (6t4t2+3)2+36t24t2+3=4516 ， 16t2(t2+1)(4t2+3)2=516 ， 令 4t2+3=u>3 ，则 (u−3)(u+1)u2=516 ， (u−4)(11u+12)=0 ， u=4 ， 故 4t2+3=4 ， t2=14 ， t=±12 .

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