题目

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．动点D从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，过点D作AB的垂线交射线AC于点E，过点E在DE右侧作EF⊥DE，且使∠EDF＝∠A．设点D运动的时间为t秒． （1） 用含t的代数式表示EF的长； （2） 当点F落在BC上时，求t的值； （3） 在点D运动的过程中，求△DEF与△ABC重叠部分图形的周长（长度单位）与运动时间t（秒）之间的函数关系式（y＞0）； （4） 在点D运动的过程中，当△DEF的边被BC平分时，直接t写出的值． 答案： 解：由题意知， AD=3t ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4 ∴AB=32+42=5 ∵EF⊥DE ∴∠DEF=90°=∠ACB ∵∠EDF=∠A ∴△ACB∼△DEF ∵ED⊥AD ∴∠ADE=∠C=90° ∵∠A=∠A ∴△ADE∼△ACB ∴AD:DE=AC:AB=3:4 ∴DE=4t ∵△ACB∼△DEF ∴ED:EF=AC:CB=3:4 ∴EF=163t ； 解： ∵DE⊥AB,DE⊥EF ∴AB//EF ∴∠A=∠CEF ∵∠C=∠C ∴△ECF∼△ACB ∴CE:CA=EF:AB ∵AD=3t,ED=4t ∴AE=5t ∴(3−5t):3=163t:5 ∴t=1541 ； 解：重合部分 C△EFD=ED+EF+DF=163t+4t+(163t)2+(4t)2=16t ∴y=16t 解：由（2）知 EF//AB ，设 DF 交 BC 于点 G ， 则 G 是 DF 的中点， DG=FG ∵EF//AB ∴∠F=∠BDG ∵∠EGF=∠BGD,DG=FG ∴△EFG≅△DGB(ASA) ∴EF=BD ∴16t3=5−3t ∴t=35 ．

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