题目

已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 点M（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆C上，且△MF1F2为正三角形． （1） 求椭圆C的方程； （2） 垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点． 答案： 解：如图，点M（0，2）关于直线y=﹣x的对称点为（﹣2，0）， ∵（﹣2，0）在椭圆上，∴a=2，又△MF1F2为正三角形，∴tan30°= c2 ，c=2tan30°= 233 ，∴b2=a2﹣c2=4﹣ 43 = 83 ，∴椭圆C的方程 x24 + 3y28 =1； 解：∵P（4，0）， ∴直线PB的方程可设为x=ky+4，由 {x=ky+42x2+3y2=8 ，得（2k2+3）y2+16ky+24=0，∵△＞0，∴k2＞ 92 ．设B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1），∴y1+y2=﹣ 16k2k2+3 ，y1•y2= 242k2+3 直线AE：y+y1= y2+y1x2−x1 （x﹣x1），∵x1y2+x2y1=2ky1y2+4（y1+y2）= 48k2k2+3 ﹣ 64k2k2+3 =﹣ 16k2k2+3 =y1+y2，∴直线AE：y+y1= y2+y1x2−x1 （x﹣x1），即为y= y2+y1x2−x1 （x﹣1）恒过定点（1，0）．∴AE恒过定点（1，0）．

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