题目

为了培养孩子的终身锻炼习惯，小明与小红的父亲与他们约定周一到周日每天的锻炼时间不能比前一天少．为了监督两人锻炼的情况，父亲记录了他们某周内每天的锻炼时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的锻炼时间a忘了记录，但知道 ， ． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 序号x 1 2 3 4 5 6 7 小明的锻炼时间y/min 16 20 20 25 30 36 a 小红的锻炼时间z/min 16 22 25 26 32 35 35 参考公式：回归方程 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 ， 参考数据： ； ． （1） 求这一周内小明锻炼的总时间不少于小红锻炼的总时间的概率； （2） 根据小明这一周前6天的锻炼时间，求其锻炼时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日锻炼时间a的值． 答案： 解：因为 36≤a≤60 且 a∈Z ，所以a的取值共有25种情况， 又当小明锻炼的总时间不少于小红时，有 ∑i=16yi+a≥∑i=17zi ， 即 16+20+20+25+30+36+a≥16+22+25+26+32+35+35 ，得 a≥44 ， 所以小明锻炼的总时间不少于小红时，a的取值共有17情况， 所以这一周内小明锻炼的总时间不少于小红的概率为 1725 ． 解：由题设可知 ∑i=1nxiyi=1×16+2×20+3×20+4×25+5×30+6×36=582 ， x¯=1+2+3+4+5+66=72 ， y¯=16+20+20+25+30+366=492 ， 所以 b^=582−6×72×49291−6×494=277 ， a^=y¯−b^x¯=492−277×72=11 ， 所以y关于序号x的线性回归方程为 y^=277x+11 ． 当 x=7 时， y=277×7+11=38 min， 估计小明周日锻炼时间a的值为38 min．

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