题目

                 （1） 试在下述情景下由牛顿运动定律推导出动能定理的表达式：在水平面上，一个物块水平方向只受到一个恒力作用，沿直线运动。要求说明推导过程中每步的根据，以及式中各符号和最后结果中各项的意义。 （2） 如图所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一个小球。以小球的平衡位置O为坐标原点，竖直向下建立x轴。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内。如果把弹性势能与重力势能的和称为系统的势能，并规定小球处在平衡位置时系统的势能为零，请根据“功是能量转化的量度”，证明小球运动到O点下方x处时系统的势能 。 答案： 解：物块水平方向只受到一个恒力作用，将沿水平面做匀变速直线运动。设恒力为 F ，物块的加速度为 a ，在时间 t 内，物块的初速度为 v0 ，末速度为 vt ，位移为 x 。根据牛顿第二定律 a=Fm 根据匀变速直线运动的规律 vt2-v02=2ax 则 F⋅x=12mvt2−12mv02 式中 F⋅x 为恒力 F 做的功， 12mvt2−12mv02 为物块动能的变化量。 解：小球在 O 点时，设弹簧的形变量为 x0 ，则此时弹簧的弹力 kx0=mg 在小球从 O 点运动到 O 点下方 x 处的过程中，弹簧的弹力 F 随 x 变化的情况如下图所示 F−x 图线下的面积等于弹力做的功 W弹=-12⋅[kx0+k(x0+x)]⋅x 当小球运动到 O 点下方 x 处时，弹簧的弹性势能 Ep弹=−W弹=kx0x+12kx2 小球的重力势能 Ep重=−mgx=−kx0x 所以，系统的势能 Ep=Ep重+Ep弹=(−kx0x)+(kx0x+12kx2)=12kx2

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