题目

在某电视台举办的冲关游戏中，AB是处于竖直平面内的光滑圆弧轨道，圆心角 ，半径 ，BC是长度为 的水平传送带，CD是长度为 水平粗糙轨道，AB、CD轨道与传送带平滑连接，参赛者抱紧滑板从A处由静止下滑，参赛者和滑板可视为质点，参赛者质量 ，滑板质量可忽略。已知滑板与传送带、水平轨道的动摩擦因数分别为 、 ， ， ， 求： （1） 参赛者运动到圆弧轨道B处对轨道的压力； （2） 若参赛者恰好能运动到D点，求传送带运转速率及方向； （3） 在第（2）问中，传送带由于传送参赛者多消耗的电能。 答案： 解：参赛者从A到B的过程，由机械能守恒定律得： mgR(1−cos53∘)=12mvB2−0 代入数据得： vB=4m/s 在B点，对参赛者，由牛顿第二定律得： N−mg=mvB2R 代入数据得： N=1080N 由牛顿第三定律知参赛者运动到圆弧轨道B处对轨道的压力为： N'=N=1080N ，方向竖直向下 解：参赛者由C到D的过程，由动能定理得： −μ2mgL2=0−12mvC2 解得： vC=8m/s>vB=4m/s 所以传送带运转方向为顺时针。 假设参赛者在传送带一直加速，设到达C点的速度为v，由动能定理得： −μ1mgL1=12mv2−12mvB2 解得： v=76m/s>vC=8m/s 所以参赛者在传送带上匀加速运动再匀速运动，所以传送带速率 v传=vC=8m/s ，方向顺时针方向。 解：参赛者在传送带上匀加速运动的时间为： t=vC−vBμ1g=8−40.5×10=0.8s 此过程中参赛者与传送带间的相对位移大小为： △x=v传t−vB+vC2t 解得 △x=1.6m 传送带由于传送参赛着多消耗的电能为： E=Q+△Ek=μ1mg△x+(12mvC2−12mvB2) 代入数据解得： E=1920J

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