题目

用数学归纳法证明，若f(n)=1+++…+,则n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+). 答案：思路解析：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3,右边=2·f(2)=2×(1+)=3,左边=右边，等式成立.（2）假设n=k时等式成立，即k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k).由已知条件可得f(k+1)=f(k)+,右边=(k+1)·f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）.当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=［k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)］+1+f(k)(凑成归纳假设)=kf(k)+1+f(k)(利用假设)=（k+1）·f(k)+1=(k+1)·［f(k+1)-］+1=(k+1)·f(k+1)=右边.∴当n=k+1时，等式也成立.由（1）（2）可知，对一切n≥2的正整数等式都成立.

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