题目

如图所示，已知椭圆 过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ，点 为直线 上且不在 轴上的任意一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 、 和 、 ， 为坐标原点. （1） 求椭圆的标准方程； （2） 设直线 、 的斜线分别为 、 . （i）证明： ； （ii）问直线 上是否存在点 ，使得直线 、 、 、 的斜率 、 、 、 满足 ？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，说明理由. 答案： 解：∵椭圆过点 (1,22) ， e=22 ，∴ a2=2b2,a=2,b=c=1 ，故所求椭圆方程为 x22+y2=1 解：（i）由于F1（﹣1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上， 所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0．又直线PF1、PF2的方程分别为y＝k1（x+1），y＝k2（x﹣1）， 联立方程解得 {x=k1+k2k2−k1y=k1k2k2−k1 ，所以 P(k1+k2k2−k1,k1k2k2−k1) ，由于点P在直线x+y＝2上， 所以 k1+k2k2−k1+2k1k2k2−k1=2,即2k1k2+3k1−k2=0 ，故 1k1−3k2=2 （ii）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），联立直线PF1和椭圆的方程得 {y=k1(x+1)x2+2y2=2 ，化简得（2k12+1）x2+4k12x+2k12﹣2＝0， 因此 xA+xB=−4k122k12+1,xAxB=2k12−22k12+1 ，所以 kOA+kOB=yAxA+yBxB=k1(xA+1)xA+k1(xB+1)xB=2k1+k2xA+xBxAxB=k1(2−4k122k12−2)=−2k1k12−1 ， 同理可得： kOC+kOD=−2k122k12−1 ，故由kOA+kOB+kOC+kOD＝0得k1+k2＝0或k1k2＝1， 当k1+k2＝0时，由（1）的结论可得k2＝﹣2，解得P点的坐标为（0，2） 当k1k2＝1时，由（1）的结论可得k2＝3或k2＝﹣1（舍去）， 此时直线CD的方程为y＝3（x﹣1）与x+y＝2联立得x＝ 54 ， y=34 ，所以 P(54,34) ， 综上所述，满足条件的点P的坐标分别为 P(54,34) ，P（0，2）

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