题目

探索与证明：（1）如图①，直线经过正三角形的顶点，在直线上取点，，使得，．通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明；（2）将（1）中的直线绕着点逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置，，．通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明．答案：解：DE=BD＋CE，证明如下 ∵△ABC为等边三角形 ∴AB=CA，∠BAC=60° ∵ ∠ADB=60° ， ∠AEC=60° ∴ ∠ADB=∠CEA ∴∠ABD＋∠BAD=180°－∠ADB=120° ∠CAE＋∠BAD=180°－∠BAC=120° ∴∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 {∠ADB=∠CEA∠ABD=∠CAEAB=CA ∴△ABD≌△CAE ∴BD=AE，AD= CE ∴DE=AE＋AD= BD＋CE；解：CE =BD＋DE，证明如下 ∵△ABC为等边三角形 ∴AB=CA，∠BAC=60° ∵ ∠ADB=120° ， ∠AEC=120° ∴ ∠ADB=∠CEA ∴∠ABD＋∠BAD=180°－∠ADB=60° ∠CAE＋∠BAD=∠BAC=60° ∴∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 {∠ADB=∠CEA∠ABD=∠CAEAB=CA ∴△ABD≌△CAE ∴BD=AE，AD= CE ∵AD= AE＋DE ∴CE= BD＋DE．

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