题目

已知函数 . （1） 讨论 的单调性； （2） 若 有两个零点，求a的取值范围. 答案： 解： f'(x)=(2ex+1)(a⋅ex−1)若 a≤0 时， f'(x)=(2ex+1)(a⋅ex−1)<0 ，所以 f(x) 在 R 上为减函数若 a>0 时， f'(x)=(2ex+1)(a⋅ex−1)=0 ，则 x=ln(1a)则： f(x) 在 (−∞,ln1a] 上为减函数， [ln1a,+∞) 上为增函数 解： f(ln1a)<0 即可， f(ln1a)=a(1a)2+(a−2)1a−ln1a=1−1a−ln1a<0令 t=1a ，令 g(t)=1−t−lnt 在 (0,+∞) 上为减函数又因为： g(1)=0 ，所以 t>1 ，所以 1a>1 ， 所以：a的取值范围为 0<a<1 .

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