题目

设正项数列{an}的前n项和Sn ， 且满足2Sn=an2+an ． （1） 求数列{an}的通项公式； （2） 若数列bn= + ，数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜2n+ ． 答案： 解：由题意可得 2sn=an2+an,2sn−1=an−12+an−1 ，两式相减得， 2an=an2−an−12+an+an−1 ， ∴ an=an2−an−12−an−an−1=0 ，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，又∵数列{an}为正项数列，∴an﹣an﹣1=1．因此数列{an}为等差数列．又n=1时， 2a1=a12+a1 ，∴a1=1，an=1+n﹣1=n 解：证明：由（1）知 bn=n+1n+2+n+2n+1 ，又 bn=n+1n+2+n+2n+1=1−1n+2+1+1n+1=2+1n+1−1n+2 ， ∴ Tn=b1+b2+⋯+bn=(2+2+⋯+2)+[(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)] ∴ Tn=b1+b2+⋯+bn=2n+12−1n+2＜2n+12

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