题目

如图，已知在△ABC中，BC＞AB ， BD平分∠ABC ，交边AC于点D ， E是BC边上一点，且BE＝BA ，过点A作AG∥DE ，分别交BD、BC于点F、G ，联结FE ．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2＝BG•BC；（3）若AB＝AC ， BG＝CE ，联结AE ，求的值．答案：证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠EBF， ∵BA＝BE，BF＝BF， ∴△ABF≌△EBF（SAS）， ∴AF＝EF，同理可得△ABD≌△EBD（SAS）， ∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB， ∵AG∥DE， ∴∠AFD＝∠EDF， ∴∠AFD＝∠ADF， ∴AF＝AD， ∴AF＝FE＝ED＝DA， ∴四边形AFED是菱形．证明：由（1）得：△ABF≌△EBF， ∴∠BAG＝∠BEF， ∵四边形AFED是菱形， ∴AD∥FE， ∴∠BEF＝∠C， ∴∠BAG＝∠C， ∵∠ABG＝∠CBA， ∴△ABG∽△CBA， ∴ ABBC=BGAB ，即AB2＝BG•BC．解：如图， ∵AB＝AC， ∴∠ABG＝∠C， ∵∠BAG＝∠C， ∴∠ABG＝∠BAG， ∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG， ∴∠AGC＝2∠BAG， ∵BG＝CE， ∴BE＝CG， ∴CG＝CA， ∴∠CAG＝∠CGA， ∵∠CAG＝2∠DAE， ∴∠DAE＝∠ABC， ∴∠DEA＝∠ACB， ∴△DAE∽△ABC， ∴ SΔADESΔABC=(AEBC)2 ， ∵AB2＝BG•BC，AB＝BE， ∴BE2＝EC•BC， ∴点E是BC的黄金分割点， ∴ BEBC=5−12 ， ∴ CEBC=3−52 ， ∵∠EAC＝∠C， ∴CE＝AE， ∴ AEBC=3−52 ， ∴ SΔADESΔABC=7−352 ．

数学试题推荐

数学试卷推荐