题目

如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F． （1） 求证：AE•BC=AD•AB； （2） 若半圆O的直径为10，sin∠BAC= ，求AF的长． 答案： 证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠C=90°，∵OD⊥AC，∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，∵AE是切线，∴OA⊥AE，∴∠E+∠AOE=90°，∴∠E=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴AE：AB=AD：BC，∴AE•BC=AD•AB． 解：作DM⊥AB于M， ∵半圆O的直径为10，sin∠BAC= 35 ， ∴BC=AB•sin∠BAC=6， ∴AC= AB2−AC2 =8， ∵OE⊥AC， ∴AD= 12 AC=4，OD= 12 BC=3， ∵sin∠OAD= ODAO = 35 ， ∵sin∠OAD=sinMAD= DMAD ， ∴DM= 125 ，AM= AD2−DM2 = 42−(125)2 = 165 ，BM=AB﹣AM= 345 ， ∵DM∥AE， ∴ DMAF=BMBA ， ∴AF= 6017 ．

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