题目

如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G． （1） 证明：G是AB的中点； （2） 在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积． 答案： 证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点； ∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，则PB⊥平面PAC，而PB⊂平面PAB，则平面PAB⊥平面PAC，在平面PAB中，过E作EF⊥PA，则EF⊥平面PAC，即F为E在平面PAC内的正投影．由于PA=PB=PC=6，故AB=BC=AC=6 2 ，易知PG= AB2 =3 2 ，GD= 13GC = 6 ，由勾股定理得PD= PG2−GD2 =2 3 ，

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