题目

已知函数 的极大值为 ，其中 为常数， 为自然对数的底数. （1） 求 的值； （2） 若函数 ，对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解： f(x) 的定义域为 (0,+∞) ， f′(x)=1−lnxx2 ， 令 f′(x)>0 ，解得： 0<x<e ，令 f′(x)<0 ，解得： x>e ， 所以当 x∈(0,e) ， f(x) 为增函数，当 x∈(e,+∞) ， f(x) 为减函数， 所以 x=e 时， f(x) 有极大值 f(e)=1e+k=1+ee ，所以 k=1 ； 解：由（1）知， f(x)=lnxx+1 ， 则 g(x)≥af(x) ，即 ex−ax≥alnxx+a 对 ∀x∈(0,+∞) 恒成立， 所以 xex−a≥alnx+ax 对 ∀x∈(0,+∞) 恒成立， 即 xex−alnx−ax−a≥0 对 ∀x∈(0,+∞) 恒成立 设 h(x)=xex−alnx−ax−a ，则 h(x)≥0 对 ∀x∈(0,+∞) 恒成立， h(x)=elnxex−alnx−ax−a=elnx+x−a(lnx+x)−a 设 lnx+x=t ， t∈R ，原问题转化为： φ(t)=et−at−a≥0 对 ∀t∈R 恒成立， ①若 a<0 ，当 t∈(−∞,0) 时， φ(t)=et−at−a<1−at−a ， 则 φ(1a−1)<1−a(1a−1)−a=0 ，不合题意； ②若 a=0 ，则 φ(t)=et≥0 对 ∀t∈R 恒成立，符合题意 ③若 a>0 ，则 φ′(t)=et−a ， 令 φ′(t)>0 ， t>lna ，令 φ′(t)<0 ， t<lna ， 所以当 t∈(−∞,lna) 时， φ(t) 为减函数， 当 t∈(lna,+∞) 时， φ(t) 为增函数， 所以 φ(t)≥φ(lna)=elna−alna−a=−alna≥0 ， 即 lna≤0 ，即 0<a≤1 ； 综上 0≤a≤1

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