题目

已知直线 ： 与圆 ： 交于 两点， 为坐标原点. （1） 若 ，求 的面积； （2） 若以 为直径的圆 过原点 ，求圆 与圆 的面积比. 答案： 由题意知直线 l ： y=x+1 ，圆 C：(x−1)2+(y+2)2=9 ， 圆心 C(1，−2) 到直线 l 的距离为 42=22 ，点 O 到直线 l 的距离为 d=|0−0+1|2=22 ， 弦 AB 的长为 |AB|=29−8=2 ， 所以 △AOB 的面积为 S=12|AB|⋅d=12×2×22=22 . 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ∵以 AB 为直径的圆过原点 O ，∴ OA⊥OB ，即 x1x2+y1y2=0 ①， 由 {y=x+bx2+y2−2x+4y−4=0 ，消去 y 得 2x2+2(b+1)x+b2+4b−4=0 ∴ x1+x2=−(b+1) ，x1x2=12(b2+4b−4) ②， y1y2=(x1+b)(x2+b) =x1x2+b(x1+x2)+b2=12(b2+2b−4) ③， 把②③式代入①式，得 b2+3b−4=0 ， 解得 b=1 或 b=−4 ，且 b=1 或 b=−4 都使得 Δ>0 成立. ∴ b=1 或 b=−4 . 当 b=1 时，由（1）知圆 M 的直径 |AB|=2 ，圆 C 的直径为6，圆 M 与圆 C 的面积比为 19 ； 当 b=−4 时，圆心 C 到直线 l 的距离为 d=|1+2−4|2=22 ， 弦 AB 的长为 |AB|=29−12=34 ，圆 M 与圆 C 的面积比为 1718 . 综上，圆 M 与圆 C 的面积比为 19 或 1718 .

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