题目

【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF． （1） .小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF． 小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF． （2） .【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF； （3） .【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值； （4） .【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=2 dm，AD=3dm，BD= dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 答案： 证明：（小军的方法）连接AP，如图② ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴ 12 AB•CF= 12 AB•PD+ 12 AC•PE．∵AB=AC，∴CF=PD+PE．（小俊的方法）过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②．∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°．∴四边形PDFG是矩形．∴DP=FG，∠DPG=90°．∴∠CGP=90°．∵PE⊥AC，∴∠CEP=90°．∴∠PGC=∠CEP．∵∠BDP=∠DPG=90°．∴PG∥AB．∴∠GPC=∠B．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∴∠GPC=∠ECP．在△PGC和△CEP中， {∠PGC=∠CEP∠GPC=∠ECPPC=CP ∴△PGC≌△CEP．∴CG=PE．∴CF=CG+FG=PE+PD． 证明：连接AP，如图③． ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP，∴ 12 AB•CF= 12 AB•PD﹣ 12 AC•PE．∵AB=AC，∴CF=PD﹣PE． 过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．∵AD=8，CF=3，∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．∴DF=5．∵∠C=90°，∴DC= DF2−CF2 = 52−32 =4．∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．∴四边形EQCD是矩形．∴EQ=DC=4．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB．∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF．由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．∴PG+PH=4．∴PG+PH的值为4． 延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图⑤． ∵AD•CE=DE•BC，∴ ADDE=BCEC ．∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE=∠BCE=90°．∴△ADE∽△BCE．∴∠A=∠CBE．∴FA=FB．由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH．设DH=xdm，则AH=AD+DH=（3+x）dm．∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°．∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2．∵AB=2 13 ，AD=3，BD= 37 ，∴（ 37 ）2﹣x2=（2 13 ）2﹣（3+x）2．解得：x=1．∴BH2=BD2﹣DH2=37﹣1=36．∴BH=6dm．∴ED+EC=6．∵∠ADE=∠BCE=90°，且M、N分别为AE、BE的中点，∴DM=AM=EM= 12 AE，CN=BN=EN= 12 BE．∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CN+EN+EC=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC=DE+EC+AB=6+2 13 ．∴△DEM与△CEN的周长之和为（6+2 13 ）dm．

查看本题答案和解析