题目

已知椭圆 的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线 相切. （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 已知点A、B为动直线 与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得 为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 答案： 解：由e= 63 ，得 ca = 63 ，即c= 63 a，①以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，此圆与直线2x﹣ 2y +6=0相切，∴a= 64+2 = 6 ，代入①得c=2，∴b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的方程为 x26+y22=1 解：由 {x26+y22=1y=k(x−2)  ，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），∴ x1+x2=12k21+3k2 ， x1x2=12k2−61+3k2 ，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得 EA⇀⋅EB⇀ 为定值，则有 EA⇀⋅EB⇀ =（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2= (x1−m)(x2−m)+k2(x1−2)(x2−2)=（k2+1） x1x2−(2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)=（k2+1）• 12k2−61+3k2 ﹣（2k2+m）• 12k21+3k2 +（4k2+m2）= (3m2−12m+10)k2+(m2−6)1+3k2 ，要使上式为定值，即与k无关，则应有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），即m= 73 ，此时 EA⇀⋅EB⇀ = m2−6=−59 为定值，定点为（ 73，0 ）

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