题目

如图所示，水平地面上左侧有一质量为2m的四分之一光滑圆弧斜槽C，斜槽末端切线水平，右侧有一质量为3m的带挡板P的木板B，木板上表面水平且光滑，木板与地面的动摩擦因数为0.25,斜槽末端和木板左端平滑过渡但不粘连．某时刻，一质量为m的可视为质点的光滑小球A从斜槽顶端静止滚下，重力加速度为g，求： （1） 若光滑圆弧斜槽C不固定，圆弧半径为R且不计斜槽C与地面的摩擦，求小球滚动到斜槽末端时斜槽的动能 （2） 若斜槽C固定在地面上，小球从斜槽末端滚上木板左端时的速度为vO ,小球滚上木板上的同时，外界给木板施加大小为vO的水平向右初速度，并且同时分别在小球上和木板上施加水平向右的恒力F1与F2 ， 且F1=F2 =0.5mg．当小球运动到木板右端时（与挡板碰前的瞬间），木板的速度刚好减为零，之后小球与木板的挡板发生第1次相碰，以后会发生多次碰撞．已知小球与挡板都是弹性碰撞且碰撞时间极短，小球始终在木板上运动． 求：①小球与挡板第1次碰撞后的瞬间，木板的速度大小 ②小球与挡板第1次碰撞后至第2019次碰撞后瞬间的过程中F1与F2做功之和． 答案： 解：由题可知，设小球滚动到斜槽末端时， A 与 C 的速度大小分别为 vA ， vc A 与 C 水平方向动量守恒，则： mvA−2mvc=0       ① A 与 C 系统机械能守恒，则： mgR=12mvA2+122mvc2         ② C 的动能为： Ek=122mvc2         ③ 联立①②③    解得： Ek=13mgR 解：①小球滚到木板上后，小球与木板的加速度大小分别为 a1 与 a2 则有： a1=g2     ④ a2=μ4mg−F23m=g6         ⑤ 木板开始运动到速度第一次减为零时用时为 t0 ，则有： t0=v0a2        ⑥ 小球第一次与挡板碰前瞬间速度为： v1=v0+a1t0       ⑦ 另设第一次碰完后小球与木板的速度分别为 vA1 ， vB1 A 与 B 动量守恒，则： mv1=mvA1+3mvB1     ⑧ A 与 B 系统动能不变，则： 12mv12=12mvA12+123mvB12         ⑨ 联立④⑤⑥⑦⑧⑨解得： vB1=2v0 ， vA1=−2v0 ②由题可知，第1次碰撞后，小球以 2v0 沿木板向左匀减速运动再反向匀加速，木板以 2v0 向右匀减速运动（两者 v−t 如图所示） 木板速度再次减为零的时间： t=2v0a2=12v0g     小球的速度： vA2=−2v0+a1t=4v0     此时，小球的位移： x1=−2v0t+12a1t2=12v02g 木板的位移： x2=2v0t−12a2t2=12v02g 即小球、木板第2次相碰前瞬间的速度与第1次相碰前瞬间的速度相同，以后小球、木板重复前面的运动过程； 则第1次碰撞后与第2019次碰撞后瞬间，小球与木板总位移相同，都为： x2019=2018·12v02g=24216v02g         ⑩ 则此过程 F1 与 F2 做功之和： W=(F1+F2)·x2019       ⑾ 联立⑩⑾解得： W=24216mv02

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