题目

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE. （1） 求证：DF是⊙O的切线； （2） 当CF＝4，BE＝6时，求AF的长. 答案： 证明：如图，连接 OD ， AD ， ∵ AB 是直径， ∴ ∠ADB=90∘ . ∴ AD⊥BC . ∵ AB=AC ， ∴ ∠BAC=2∠BAD ， ∵ ∠BAC=2∠BDE ， ∴ ∠BDE=∠BAD . ∵ OA=OD ， ∴ ∠BAD=∠ADO . ∵ ∠ADO+∠ODB=90∘ ∴ ∠BDE+∠ODB=90∘ . ∴ ∠ODE=90∘ ，即 DF⊥OD . 又 OD 是 ⊙O 的半径， ∴ DF 是 ⊙O 的切线. 解：∵ AB=AC ， AD⊥BC ， ∴ BD=CD . ∵ BO=AO ， ∴OD是三角形ABC的中位线， ∴ OD//AC ， AC=2OD ∴ △EOD∽△EAF ， ∴ ODAF=EOEA . 设 OD=x ，则 AC=2x ∵ CF=4 ， BE=6 ， ∴ OA=OB=x ， AF=AC−CF=2x−4 ， EO=x+6 ， EA=2x+6 . ∴ x2x−4=x+62x+6 . 解得 x=12 . 经检验 x=12 是所列分式方程的解. ∴ AF=2x−4=20 .

查看本题答案和解析