题目

如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量m=1kg的小物块A，弹簧压缩后被锁定在某一长度。装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。传送带始终以v=2ms的速度逆时针转动。装置的右边是一光滑的曲面，质量M=2kg的小物块B从其上距水平台面h=1.0m处由静止释放。已知物块B与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2 ， l=1.0m。设物块A、B之间发生的是对心碰撞(碰撞时间极短)，碰撞后两者一起向前运动且碰撞瞬间弹簧锁定被解除。取g=10m/s2。 （1） 求物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小； （2） 若物块B第一次与A分离后，恰好运动到右边曲面距水平台面h′=0.5m高的位置，求弹簧被锁定时弹性势能的大小； （3） 在满足(2)问条件的前提下，两物块发生多次碰撞，且每次碰撞后分离的瞬间物块A都会立即被锁定，而当它们再次碰撞前锁定被解除，求物块A、B第n次碰撞后瞬间速度大小。(计算结果可用根号表示) 答案： 解：若B在传送带上能一直减速运动，设它在最左端时的速度为v1前，则B从最高点运动到传送带最左端的过程中由动能定理： Mgh−μMgl=12Mv前12   解得v前1=4m/s>2m/s，则物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小为4m/s 解：设B与A碰撞后瞬间的共同速度为v1后，对AB系统由动量守恒定律： Mv1前=(m+M)v1后   分析可知，当弹簧恢复原长时AB分离，设B第一次离开弹簧时速度为v1离，对B离开弹簧到运动到h＇高度处由动能定理： -μMgl−Mgh′=0−12Mv1离2   对AB及弹簧系统由第一次解锁位置到第一次恢复原长位置，由能量守恒定律： EP=12(M+m)v1离2−12(M+m)v1后2   联立解得： EP=313J 解：若B从h＇处下落后再传送带上能够一直减速，则B从h＇运动到传送带最左端过程中由动能定理： Mgh′-μMgl=12Mv2前2 解得 v2前=6m/s>2m/s ，故物块B与物块A第二次碰撞前的速度大小为 v2前=6m/s ；B与A第二次碰撞的过程中，对AB系统： Mv2前=(m+M)v2后   解得 v2后=236m/s ； B向右再次冲到传送带上若能在其上速度减为0，设其通过的位移为x，由动能定理： -μMgx=0−12Mv2后2 解得 x=23m<1m  故而B第三次与A相碰时速度仍为 v3前=236m/s ； 再由： Mv3前=(m+M)v3后 解得 v3后=(23)26m/s ； 推理可知B与A第n次碰撞后速度大小表达式为： vn后=(23)n−16m/s 根据以上分析可知： v1后=83m/s ， vn后=(23)n−16m/s （n=2，3，4…）

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