题目

已知 m>1 且关于 x 的不等式  的解集为 [0,4] .①求 m 的值；②若 a ， b 均为正实数，且满足 a+b=m ，求 a2+b2 的最小值. 答案：【解答】①因为 m>1 ，不等式 m-|x-2|≥1 可化为x-2≤m-1 ，∴1-m≤x-2≤m-1 ，即3-m≤x≤m+1 ，∵其解集为 [0,4] ，∴3-m=0m+1=4 ， m=3 .②由①知 a+b=3 ，(方法一：利用基本不等式)∵ a+b2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2a2+b2 ，∴a2+b2≥92 ，∴ a2+b2 的最小值为 92 .(方法二：利用柯西不等式)∵ (a2+b2)(12+12)≥(a×1+b×1)2=a+b2=9 ，∴ a2+b2≥92 ，∴ a2+b2 的最小值为 92 .(方法三：消元法求二次函数的最值)∵ a+b=3 ，∴b=3-a ，∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2a-322+92≥92 ，∴ a2+b2 的最小值为92 .

查看本题答案和解析