题目

已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 交 轴于A、B两点(A在x轴负半轴上)，交y轴于点C，连接 ， ． （1） 求抛物线的解析式； （2） P为直线 上方第一象限内一点，连接 、 ， ，延长 交x轴于点R，设点P的横坐标为m，点R的横坐标为n，求n与m之间的函数关系式；(不要求写出自变量m的取值范围) （3） 把线段 沿直线 翻折，得到线段 ，E为第二象限内一点，连接 、 ， ，F为线段 上一点， 于点N，射线 交线段 于点G，连接 交 于H，交 于点K，连接 ，若 ， ，设直线 与抛物线第一象限交点为M，求点M坐标． 答案： 解：由抛物线 y=−x2+bx+3 可知， 点C（0，3）， ∴OC=3， ∵ tan∠CAO=3 ， ∴OA=1， ∴A（﹣1，0）， 将点A（﹣1，0）代入 y=−x2+bx+3 ， 可求得：b=2， ∴抛物线的解析式为： y=−x2+2x+3 解：如图，过点P作PH⊥x轴于H，过点B作BD⊥PR， 由（1）知抛物线的解析式为： y=−x2+2x+3 ， ∴可求得点B坐标为，（3，0）， ∴OC=OB， ∴∠CBO=45°， ∵ ∠P+2∠PBC=90° ， ∴∠PBC=∠DBC， ∵∠PBR=∠PBC＋∠CBO=45°＋∠PBC，∠DRB=90°－∠DBR，而∠DBR=∠CBO－∠DBO， ∴∠DRB=90°－∠CBO+∠DBO=45°＋∠DBO， ∴∠PRB=∠PBR， ∴△PRB为等腰三角形，RH=HB， ∵点P的横坐标为m，点R的横坐标为n ∴ m−n=3−m ， 即 n=2m−3 ； 解：如图， 设 F(t,0) (0⩽t⩽3) ，则 AF=t+1 ， ∴ AE=25(t+1) ， ∵ AE=25AF ， ∴E（﹣1， 2t+25 ）， ∵ ∠ABC=45° ，BD为线段AB沿直线BC翻折所得， ∴点D（3，4）， ∴ kBE2t+25−1−3=−t+110 ， ∵FN⊥BE， ∴ kFG·kBE=−1 ， ∴ kFG=10t+1 ， ∴直线FG的解析式为： y=10t−1(x−t) ， 令 x=3 ，则G（3， 30−10tt−1 ）， ∴ kAG=10(3−t)t+13+!=5(3−t)2(t+1) ∵∠EHA=45°， 由直线的夹角公式得： tan∠EHA=|kAG·kBE1+kAG·kBE|=1 ， ∴ |kAG−kBE|=|1+kAG·kBE| ， ∴ |5(3−t)2(t+1)+t+110|=|1−5(3−t)2(t+1)·t+110| ， 化简得： 3t2+56t−147=0 ， 即 (3t−7)(t+21)=0 ， ∵ 0≤t≤3 ， ∴ t=73 ， ∴G（3，2）， ∴直线AG的解析式为： y=12x+12 ， ∴直线BE的解析式为： y=−13x+1 ， 设点K（u， 12u+12 ）， (0⩽u⩽3) ， ∴ kDK=12u+12−4u−3=u−72(u−3) ， kBK=12u+12u−3=u+12(u−3) ， 由直线夹角公式得： tan45°=tan∠DK=|kBK−kDK1+kBK·kDK|=1 , 即， |1+kBK·kDK|=|kBK−kDK| ， ∴ |1+u+12(u−3)·u−72(u−3)|=|u+12(u−3)−u−72(u−3)| ， 化简得： 5u2−14u−19=0 或  5u2−46u+77=0 ， 解得： u1=195 ， u2=−1 ， u3=115 ， u4=7 ， ∵ 0⩽u⩽3 ， ∴ u=115 ， ∴K（ 115 ， 85 ）， ∴直线BK的解析式为： y=−2x+6 ， ∵点M为直线BK与抛物线的交点， ∴联立 {y=−2x+6y=−x2+2x+3 ， 解得： x=1  或 x=3 （即为点B，舍去）， 所以点M（1，4）．

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