题目

21.（Ⅰ）已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列｛cn+1－pcn｝为等比数列，求常数p;  （Ⅱ）设{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列{cn}不是等比数列. 答案：21.本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力. 解：（Ⅰ）因为｛cn+1－pcn｝是等比数列，故有（cn+1－pcn）2＝（cn+2－pcn＋1）（cn－pcn－1），将cn＝2n＋3n代入上式，得［2n+1+3n+1－p（2n+3n）］2=［2n+2+3n+2－p（2n+1+3n+1）］·［2n+3n－p（2n－1+3n－1）］， 即　［（2－p）2n+（3－p）3n］2=［（2－p）2n+1+（3－p）3n+1］［（2－p）2n－1+（3－p）3n－1］，整理得 （2－p）（3－p）·2n·3n＝0，解得　p=2或p=3.                                                  （Ⅱ）设｛an｝、｛bn｝的公比分别为p、q，p≠q，cn＝an＋bn.为证{cn}不是等比数列只需证c≠c1·c3.事实上，c=（a1p+b1q）2=ap2+bq2+2a1b1pq，c1·c3=（a1+b1）（a1p2+b1q2）=ap2+bq2+a1b1（p2+q2）. 由于p≠q，p2+q2>2pq，又a1、b1不为零，因此c≠c1·c3，故{cn}不是等比数列.

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