题目

在函数定义域内,若存在区间 ,使得函数值域为 ,则称此函数为“ 档类正方形函数”,已知函数 . （1） 当 时,求函数 的值域; （2） 若函数 的最大值是1,求实数 的值; （3） 当 时,是否存在 ,使得函数 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数 的取值范围,若不存在,请说明理由. 答案： 解： k=0 时, f(x)=log3(3x+2) , 因为 3x+2>2 . 所以 f(x)=log3(3x+2)>log32 , 所以函数 y=f(x) 的值域为 (log32，+∞) 解：设 t=3x，t>0 ,则 f(t)=log3[2k⋅t2−(k−1)t+k+2] , 若 k≥0 ,则函数 g(t)=2k⋅t2−(k−1)t+k+2 无最大值, 即 f(t) 无最大值,不合题意; 故 k<0 ,因此 g(t)=2k⋅t2−(k−1)t+k+2 最大值在 t=k−14k>0 时取到, 且 f(k−14k)=1 ,所以 2k(k−14k)2−(k−1)k−14k+k+2=3 , 解得 k=1 或 k=−17 , 由 k<0 ,所以 k=−17 . 解：因为 0<k<1 时,设 t=3x(t>1) .设真数为 g(t)=2k⋅t2−(k−1)t+k+2 . 此时对称轴 t=k−14k<0 , 所以当 t>1 时, g(t) 为增函数,且 g(t)>g(1)=2k+3>0 , 即 f(x) 在 (1，+∞) 上为增函数. 所以, f(x)min=f(m)=m+1，f(x)max=f(n)=n+1 , 即方程 log3[2k⋅9x−(k−1)3x+k+2]=x+1 在 (0，+∞) 上有两个不同实根, 即 2k⋅9x−(k−1)3x+k+2=3x+1 ,设 t=3x(t>1) . 所以 2k⋅t2−(k−1)t+k+2=3t . 即方程 2k⋅t2−(k+2)t+k+2=0 有两个大于l的不等实根, 因为 0<k<1 , 所以 {Δ=(k+2)2−8k(k+2)>0k+24k>12k−(k+2)+k+2>0 , 解得 0<k<27 , 即存在 m，n ,使得函数 f(x) 为“1档类正方形函数”,且 0<k<27 .

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