题目

平行四边形ABCD中(图1)，∠A＝60°，AB＝2AD，将△ABD以BD为折痕折起，使得平面 BD⊥平面BCD，如图2. （1） 证明：平面 BC⊥平面 BD； （2） 已知AD＝1，点M为线段 C的中点，求点C到平面MDB的距离. 答案： 证明：由余弦定理得 BD=AB2+AD2−2AB⋅ADcos60°=4AD2+AD2−2⋅2AD⋅AD⋅12=3AD ， 所以 AD2+BD2=AB2 ，所以 AD⊥BD ，即 BC⊥BD ， 又平面 A′ BD⊥平面BCD，平面 A′ BD ∩ 平面BCD =BD ， BC⊂ 平面 BCD ， 所以 BC⊥ 平面 A′BD ，又 BC⊂ 平面 A′BC ， 所以平面 A′BC⊥ 平面 A′BD 解：由 AD=1 ，则 BC=1，CD=2，BD=3 ， S△BCD=S△A′BD=12×1×3=32 ， VA′−BCD=VC−A′BD=13×BC×S△A′BD=13×1×32=36 ， M 是 A′C 中点，所以 VM−BCD=12VA′−BCD=312 ， 由（1）得 BC⊥A′B ， A′C=12+22=5 ，所以 A′C2=CD2+A′D2 ， A′D⊥DC ， 所以 DM=12A′C=BM=52 ，而 BD=3 ，所以 S△MBD=12×3×(52)2−(32)2=64 ．设 C 到平面 MBD 的距离为 h ， 则 VM−BDC=VC−MBD=13S△MBD⋅h=612h ， 所以 612h=312 ，所以 h=22 ． 即 C 到平面 MBD 的距离为 22 ．

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