题目

对于数集X={﹣1，x1 ， x2 ， …，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn ， n≥2，定义向量集Y={ =（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P． （1） 若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值； （2） 若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1； （3） 若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1 ， x2 ， …，xn的通项公式． 答案： 解：选取 a1→ =（x，2），则Y中与 a1→ 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b， 又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4． 解：取 a1→ =（x1，x1）∈Y，设 a2→ =（s，t）∈Y，满足 a1→⋅a2→=0 ，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号． 因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设xk=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．再取 a1→ =（x1，xn）∈Y，设 a2→ =（s，t）∈Y，满足 a1→⋅a2→=0 ，可得sx1+txn=0，所以s、t异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x1=txn＞t≥x1，矛盾；②若t=﹣1，则xn=sx1＜s≤xn，矛盾；说明假设不成立，由此可得当xn＞1时，x1=1． 解：[解法一]猜想：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n 记Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n先证明若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．任取 a1→ =（s，t），s、t∈Ak，当s、t中出现﹣1时，显然有 a2→ 满足 a1→⋅a2→=0 当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．因为Ak+1具有性质P，所以有 a2→ =（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得 a1→⋅a2→=0 ，从而s1、t1其中有一个为﹣1不妨设s1=﹣1，假设t1∈Ak+1，且t1∉Ak，则t1=xk+1．由（s，t）（﹣1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，与s∈Ak矛盾．所以t1∈Ak，从而Ak也具有性质P．再用数学归纳法，证明xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立；假设当n=k时，Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，则xi=qi﹣1，i=1，2，…，k当n=k+1时，若Ak+1═{﹣1，x1，x2，…，xk+1}具有性质P，则Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，所以Ak+1═{﹣1，q，q2，…，qk﹣1，xk+1}．取 a1→ =（xk+1，q），并设 a2→ =（s，t）∈Y，满足 a1→⋅a2→=0 ，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，则xk+1= qs<q ，不可能所以s=﹣1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1＞qk﹣1，因此xk+1=qk综上所述，xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设 a1→ =（s1，t1）， a2→ =（s2，t2），则 a1→⋅a2→=0 等价于 s1t1=−t2s2 记B={ st |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．由于 xnxn−1 ＜ xnxn−2 ＜ xnxn−3 ＜…＜ xnx2<xnx1 ，已经有n﹣1个数对以下三角形数阵： xnxn−1 ＜ xnxn−2 ＜ xnxn−3 ＜…＜ xnx2<xnx1 ， xnxn−2 ＜ xn−1xn−3 ＜ xn−1xn−4 ＜…＜ xn−1x1 x2x1 注意到 xnx1 ＞ xn−1x1 ＞ xn−2x1 ＞…＞ x2x1 ，所以 xnxn−1 = xn−1xn−2 =…= x2x1 从而数列的通项公式是xk=x1•（ x2x1 ）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．

查看本题答案和解析