题目
如图,∠AOB=120°,射线OC从OA开始,绕点O逆时针旋转,旋转的速度为每分钟20°;射线OD从OB开始,绕点O逆时针旋转,旋转的速度为每分钟5°,OC和OD同时旋转,设旋转的时间为t(0≤t≤15). (1)当t为何值时,射线OC与OD重合; (2)当t为何值时,∠COD=90°; (3)试探索:在射线OC与OD旋转的过程中,是否存在某个时刻,使得射线OC,OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线?若存在,请求出所有满足题意的t的取值,若不存在,请说明理由.
答案:(1)t=8min时,射线OC与OD重合; (2)当t=2min或t=14min时,射线OC⊥OD; (3)存在,详见解析. 【解析】 (1)当OC与OD重合时,根据角度关系可知∠AOC=∠AOB+∠BOD,利用题中射线的旋转速度,由角度=时间×旋转速度,列出方程,求解即可得到射线OC与OD重合时的时间t; (2)当∠COD=90°时,可分为两种情况,当OC位于OD的右边时:∠BOD+120°=∠AOC+90°;当OC位于OD左边时:∠AOC-90°-120°=∠BOD,列出对应的方程,求解即可; (3)分三种情况来考虑,当OB为角平分线时:120°-∠AOC=∠BOD;当OC为角平分线时:∠AOC-120°=∠BOD;当OD为角平分线时:∠AOC-120°=2∠BOD,列方程求解即可. 【详解】 解:(1)由题意得,20t=5t+120°,解得t=8, 即当t=8分钟时,射线OC与OD重合; (2)当OC位于OD的右边时:∠BOD+120°=∠AOC+90°,则可得5t+120°=20t+90°,解得t=2分钟; 当OC位于OD左边时:∠AOC-90°-120°=∠BOD,则可得20t-90°-120°=5t,解得t=14分钟; 故当t=2或14分钟时,∠COD=90°; (3)存在. 当OB为角平分线时:120°-∠AOC=∠BOD,则可得120°-20t=5t,解得t=4.8分钟; 当OC为角平分线时:∠AOC-120°=∠BOD,则可得20t-120°=×5t,解得t=分钟; 当OD为角平分线时:∠AOC-120°=2∠BOD,则可得20t -120°=2×5t,解得t=12分钟. 故当t=4.8或或12分钟时,射线OC,OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线. 【点睛】 本题由角的边的旋转考查了角的和差运算,注意运动的不确定性所带来的多可能性.