题目

如图，一次函数 的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30. （1） 求△ABC的面积； （2） 如果在第二象限内有一点P（m， ），试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值； （3） 是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出Q的所有可能的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：由条件知： A(1，0)，B(0，3) ∴ 在Rt△ABO中， AB=12+(3)2=2 在Rt△ABC中，∵ ∠ABC=30°， ∴ AC=AB3=233   ∴ S△ABC=12AC⋅AB=233 解：S四边形POAB＝S△OBP＋S△AOB ∵ S△OBP=12⋅(−m)⋅3=−32m   S△AOB=12×1×3=32   ∴ S四边形POAB =−32m+32   ∵ S△AOP=12×1×32=34   ∴ S△APB＝S四边形POAB－S△AOP =−32m+34(m<0)   当S△APB＝ 233 时 −32m+34=233 ∴ m=−56 解：∵ AB=12+(3)2=2 ∴当AQ=AB时，点 Q1(3，0)，Q2(−1，0)，Q3(0，−3) 当AB=BQ时，点 Q4(0，3+2)，Q5(0，3−2)，Q2(−1，0) 当AQ=BQ时，点 Q6(0，33)，Q2(−1，0) 综上可得： (0，3−2)，(0，3+2)，(−1，0)，(3，0)，(0，−3)，(0，33).

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