题目

问题发现． （1） 如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为． （2） 如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值． （3） 如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由． 答案： 【1】125 解：作 C 关于 BD 的对称点 C′ ，过 C′ 作 BC 的垂线，垂足为 N ，且与 BD 交于 M ， 则 CM+MN 的最小值为 C′N 的长， 设 CC′ 与 BD 交于 H ，则 CH⊥BD ， ∴ △BMC∽△BCD ，且 CH=125 ， ∴ ∠C′CB=∠BDC ， CC′=245 ， ∴ △C′NC∽△BCD ， ∴ C′N=CC′⋅BCBD=245×45=9625 ， 即 CM+MN 的最小值为 9625 ． 解：连接 AC ，则 S四AGCD=S△ADC+S△ACG ， GB=EB=AB−AE=3−2=1 ， ∴点 G 的轨迹为以 E 为圆心， 1 为半径的一段弧． 过 E 作 AC 的垂线，与⊙ E 交于点 G ，垂足为 M ， ∵ △AEM∽△ACB ， ∴ EMBC=AEAC ， ∴ EM=AE⋅BCAC=2×45=85 ， ∴ GM=EM−EG=85−1=35 ， ∴ S四边形AGCD=S△ACD+S△ACG ， =12×3×4+12×5×35 ， =152 ．

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